[Antreas P. Hatzipolakis]:
Let ABC be a triangle, P a point and A'B'C' the pedal triangle of P.
Denote:
O' = the circumcenter of A'B'C'
Which is the locus of P such that the reflections of :
1. PA', PB', PC' in AO', BO', CO', resp.
2. PA, PB, PC in AO', BO', CO', resp.
are concurrent?
-----------------------------------------------------------------------------------------
[Ercole Suppa]
(1)
*** Locus of point P such that the reflections of PA', PB', PC' in AO', BO', CO', resp. are councurrent:
{Linf} U {circumcircle} U {q15 excentral--circular-circum-curve of degree 15 through ETC's: X(1), X(3), X(4)}
-- equation of q15:
∑ [b^2 c^8 (2 a^4+2 a^2 b^2-5 b^4-4 a^2 c^2+2 c^4) x^10 y^4 z+2 b^2 c^8 (7 a^4+3 a^2 b^2-12 b^4-14 a^2 c^2+3 b^2 c^2+7 c^4) x^9 y^5 z+c^8 (8 a^6+33 a^4 b^2-5 a^2 b^4-41 b^6-10 a^4 c^2-46 a^2 b^2 c^2+24 b^4 c^2-4 a^2 c^4+21 b^2 c^4+6 c^6) x^8 y^6 z+2 (a-b) (a+b) c^8 (a^2+b^2-c^2) (15 a^2+15 b^2+c^2) x^7 y^7 z+c^8 (41 a^6+5 a^4 b^2-33 a^2 b^4-8 b^6-24 a^4 c^2+46 a^2 b^2 c^2+10 b^4 c^2-21 a^2 c^4+4 b^2 c^4-6 c^6) x^6 y^8 z+2 a^2 c^8 (12 a^4-3 a^2 b^2-7 b^4-3 a^2 c^2+14 b^2 c^2-7 c^4) x^5 y^9 z+a^2 c^8 (5 a^4-2 a^2 b^2-2 b^4+4 b^2 c^2-2 c^4) x^4 y^10 z+b^4 c^6 (3 a^4+8 a^2 b^2-9 b^4-10 a^2 c^2+7 c^4) x^10 y^3 z^2+b^2 c^6 (6 a^6+21 a^4 b^2+24 a^2 b^4-41 b^6-4 a^4 c^2-46 a^2 b^2 c^2-5 b^4 c^2-10 a^2 c^4+33 b^2 c^4+8 c^6) x^9 y^4 z^2+b^2 c^6 (38 a^6+57 a^4 b^2-12 a^2 b^4-65 b^6-38 a^4 c^2-55 a^2 b^2 c^2-12 b^4 c^2-38 a^2 c^4+57 b^2 c^4+38 c^6) x^8 y^5 z^2+c^6 (10 a^8+94 a^6 b^2+39 a^4 b^4-90 a^2 b^6-43 b^8+6 a^6 c^2-83 a^4 b^2 c^2+30 a^2 b^4 c^2-13 b^6 c^2-38 a^4 c^4-6 a^2 b^2 c^4+47 b^4 c^4+18 a^2 c^6+5 b^2 c^6+4 c^8) x^7 y^6 z^2+c^6 (43 a^8+90 a^6 b^2-39 a^4 b^4-94 a^2 b^6-10 b^8+13 a^6 c^2-30 a^4 b^2 c^2+83 a^2 b^4 c^2-6 b^6 c^2-47 a^4 c^4+6 a^2 b^2 c^4+38 b^4 c^4-5 a^2 c^6-18 b^2 c^6-4 c^8) x^6 y^7 z^2+a^2 c^6 (65 a^6+12 a^4 b^2-57 a^2 b^4-38 b^6+12 a^4 c^2+55 a^2 b^2 c^2+38 b^4 c^2-57 a^2 c^4+38 b^2 c^4-38 c^6) x^5 y^8 z^2+a^2 c^6 (41 a^6-24 a^4 b^2-21 a^2 b^4-6 b^6+5 a^4 c^2+46 a^2 b^2 c^2+4 b^4 c^2-33 a^2 c^4+10 b^2 c^4-8 c^6) x^4 y^9 z^2+a^4 c^6 (9 a^4-8 a^2 b^2-3 b^4+10 b^2 c^2-7 c^4) x^3 y^10 z^2+2 b^4 (b-c) c^4 (b+c) (a^2-b^2-c^2) (a^2+15 b^2+15 c^2) x^9 y^3 z^3+b^2 c^4 (4 a^8+5 a^6 b^2+47 a^4 b^4-13 a^2 b^6-43 b^8+18 a^6 c^2-6 a^4 b^2 c^2+30 a^2 b^4 c^2-90 b^6 c^2-38 a^4 c^4-83 a^2 b^2 c^4+39 b^4 c^4+6 a^2 c^6+94 b^2 c^6+10 c^8) x^8 y^4 z^3+2 b^2 c^4 (12 a^8+21 a^6 b^2+22 a^4 b^4-43 a^2 b^6-12 b^8+34 a^6 c^2+3 a^4 b^2 c^2-10 a^2 b^4 c^2-43 b^6 c^2-92 a^4 c^4+3 a^2 b^2 c^4+22 b^4 c^4+34 a^2 c^6+21 b^2 c^6+12 c^8) x^7 y^5 z^3+(a-b) (a+b) c^4 (4 a^8+79 a^6 b^2+114 a^4 b^4+79 a^2 b^6+4 b^8+26 a^6 c^2+118 a^4 b^2 c^2+118 a^2 b^4 c^2+26 b^6 c^2-46 a^4 c^4-193 a^2 b^2 c^4-46 b^4 c^4-2 a^2 c^6-2 b^2 c^6+18 c^8) x^6 y^6 z^3+2 a^2 c^4 (12 a^8+43 a^6 b^2-22 a^4 b^4-21 a^2 b^6-12 b^8+43 a^6 c^2+10 a^4 b^2 c^2-3 a^2 b^4 c^2-34 b^6 c^2-22 a^4 c^4-3 a^2 b^2 c^4+92 b^4 c^4-21 a^2 c^6-34 b^2 c^6-12 c^8) x^5 y^7 z^3+a^2 c^4 (43 a^8+13 a^6 b^2-47 a^4 b^4-5 a^2 b^6-4 b^8+90 a^6 c^2-30 a^4 b^2 c^2+6 a^2 b^4 c^2-18 b^6 c^2-39 a^4 c^4+83 a^2 b^2 c^4+38 b^4 c^4-94 a^2 c^6-6 b^2 c^6-10 c^8) x^4 y^8 z^3-b^2 (b-c) c^2 (b+c) (18 a^8-2 a^6 b^2-46 a^4 b^4+26 a^2 b^6+4 b^8-2 a^6 c^2-193 a^4 b^2 c^2+118 a^2 b^4 c^2+79 b^6 c^2-46 a^4 c^4+118 a^2 b^2 c^4+114 b^4 c^4+26 a^2 c^6+79 b^2 c^6+4 c^8) x^7 y^4 z^4-b^2 c^2 (14 a^8 b^2-14 a^6 b^4-14 a^4 b^6+14 a^2 b^8-78 a^8 c^2-83 a^6 b^2 c^2-42 a^4 b^4 c^2+187 a^2 b^6 c^2+14 b^8 c^2+78 a^6 c^4+70 a^4 b^2 c^4-42 a^2 b^4 c^4-14 b^6 c^4+78 a^4 c^6-83 a^2 b^2 c^6-14 b^4 c^6-78 a^2 c^8+14 b^2 c^8) x^6 y^5 z^4+a^2 c^2 (14 a^8 b^2-14 a^6 b^4-14 a^4 b^6+14 a^2 b^8+14 a^8 c^2+187 a^6 b^2 c^2-42 a^4 b^4 c^2-83 a^2 b^6 c^2-78 b^8 c^2-14 a^6 c^4-42 a^4 b^2 c^4+70 a^2 b^4 c^4+78 b^6 c^4-14 a^4 c^6-83 a^2 b^2 c^6+78 b^4 c^6+14 a^2 c^8-78 b^2 c^8) x^5 y^6 z^4-a^10 c^4 y^10 z^5+a^10 (2 a^4-4 a^2 b^2+2 b^4+2 a^2 c^2-5 c^4) y^9 z^6+a^10 (3 a^4-10 a^2 b^2+7 b^4+8 a^2 c^2-9 c^4) y^8 z^7-a^10 (3 a^4+8 a^2 b^2-9 b^4-10 a^2 c^2+7 c^4) y^7 z^8-a^10 (2 a^4+2 a^2 b^2-5 b^4-4 a^2 c^2+2 c^4) y^6 z^9+a^10 b^4 y^5 z^10] = 0
*** Let Q=Q(P) denote the point of concurrence.
-- If P ∈ Linf then Q(P) ∈ Linf
-- If P ∈ circumcircle then Q(P) ∈ q4 circular quartic of equation
q4: ∑ [-b^2 c^2 (a^4+a^2 b^2-2 b^4+a^2 c^2+4 b^2 c^2-2 c^4) x^4-(a^8-5 a^6 b^2+9 a^4 b^4-7 a^2 b^6+2 b^8-5 a^6 c^2+15 a^4 b^2 c^2+31 a^2 b^4 c^2-14 b^6 c^2+9 a^4 c^4+31 a^2 b^2 c^4+24 b^4 c^4-7 a^2 c^6-14 b^2 c^6+2 c^8) x^2 y z-a^2 (a^6-3 a^4 b^2+3 a^2 b^4-b^6-7 a^4 c^2+13 a^2 b^2 c^2+3 b^4 c^2+11 a^2 c^4+3 b^2 c^4-5 c^6) y^3 z-a^2 (a^6-6 a^4 b^2+9 a^2 b^4-4 b^6-6 a^4 c^2+26 a^2 b^2 c^2+4 b^4 c^2+9 a^2 c^4+4 b^2 c^4-4 c^6) y^2 z^2-a^2 (a^6-7 a^4 b^2+11 a^2 b^4-5 b^6-3 a^4 c^2+13 a^2 b^2 c^2+3 b^4 c^2+3 a^2 c^4+3 b^2 c^4-c^6) y z^3] = 0
*** some pairs (P,Q(P)):
-- pairs (P ∈ Linf, Q(P)) : no pairs
-- pairs (P ∈ circumcircle, Q(P)) : {110, 14731}
-- pairs (P ∈ q15, Q(P)) : {1,1},{4,252}
*** some points: if P=X(3)=circumcenter then
Q1 = Q(X(3)) = REFLECTION OF X(252) IN X(5)
Barycentrics -a^16+5 a^14 (b^2+c^2)+(b^2-c^2)^6 (b^4-b^2 c^2+c^4)-3 a^12 (3 b^4+4 b^2 c^2+3 c^4)+4 a^10 (b^6+b^4 c^2+b^2 c^4+c^6)-a^2 (b^2-c^2)^4 (6 b^6-b^4 c^2-b^2 c^4+6 c^6)+a^8 (10 b^8+6 b^6 c^2+7 b^4 c^4+6 b^2 c^6+10 c^8)+a^4 (b^2-c^2)^2 (15 b^8-b^6 c^2-2 b^4 c^4-b^2 c^6+15 c^8)+a^6 (-19 b^10+10 b^8 c^2+10 b^2 c^8-19 c^10) : :
= lies on these lines: {4,11671},{5,252},{137,195},{546,6288},{5501,21230},{10285,14140},{14072,20120},{16336,20414}
= reflection of X(252) in X(5)
= (X(i),X(j))-harmonic conjugate of X(k) for these {i,j,k}: {15307,19552,5}
= (6-9-13) serch numbers [-1.66217862828339082, -4.15184523361040934, 7.28217824130699672]
-------------------------------------
(2)
*** Locus of point P such that the reflections of PA, PB, PC in AO', BO', CO', resp. are councurrent:
{Linf} U {q19 excentral--circular-circum-curve of degree 19 through ETC's: X(1), X(4)
-- equation of q19:
∑ [2 b^4 c^10 (a^4-b^4-2 a^2 c^2+5 b^2 c^2+c^4) x^12 y^6 z+2 b^2 c^10 (a^6+7 a^4 b^2-5 a^2 b^4-3 b^6-3 a^4 c^2+2 a^2 b^2 c^2+13 b^4 c^2+3 a^2 c^4+3 b^2 c^4-c^6) x^11 y^7 z+2 b^2 c^10 (8 a^6+11 a^4 b^2-16 a^2 b^4-3 b^6-11 a^4 c^2+15 a^2 b^2 c^2+11 b^4 c^2+10 a^2 c^4-b^2 c^4-7 c^6) x^10 y^8 z+2 (a-b) (a+b) c^10 (a^2+b^2-c^2) (a^4+18 a^2 b^2+b^4-2 a^2 c^2-2 b^2 c^2+c^4) x^9 y^9 z+2 a^2 c^10 (3 a^6+16 a^4 b^2-11 a^2 b^4-8 b^6-11 a^4 c^2-15 a^2 b^2 c^2+11 b^4 c^2+a^2 c^4-10 b^2 c^4+7 c^6) x^8 y^10 z+2 a^2 c^10 (3 a^6+5 a^4 b^2-7 a^2 b^4-b^6-13 a^4 c^2-2 a^2 b^2 c^2+3 b^4 c^2-3 a^2 c^4-3 b^2 c^4+c^6) x^7 y^11 z+2 a^4 c^10 (a^4-b^4-5 a^2 c^2+2 b^2 c^2-c^4) x^6 y^12 z+b^4 c^8 (a^6+a^4 b^2-a^2 b^4-b^6-3 a^4 c^2-20 a^2 b^2 c^2+17 b^4 c^2+3 a^2 c^4+3 b^2 c^4-c^6) x^12 y^5 z^2+b^4 c^8 (11 a^6+3 a^4 b^2-11 a^2 b^4-3 b^6-39 a^4 c^2-32 a^2 b^2 c^2+41 b^4 c^2+33 a^2 c^4+23 b^2 c^4-5 c^6) x^11 y^6 z^2+b^2 c^8 (2 a^8+45 a^6 b^2-15 a^4 b^4-29 a^2 b^6-3 b^8-4 a^6 c^2-69 a^4 b^2 c^2-12 a^2 b^4 c^2+31 b^6 c^2+127 a^2 b^2 c^4+5 b^4 c^4+4 a^2 c^6-31 b^2 c^6-2 c^8) x^10 y^7 z^2+b^2 c^8 (14 a^8+79 a^6 b^2-61 a^4 b^4-31 a^2 b^6-b^8-33 a^4 b^2 c^2-4 a^2 b^4 c^2+7 b^6 c^2+26 a^4 c^4+71 a^2 b^2 c^4-15 b^4 c^4-36 a^2 c^6+13 b^2 c^6-4 c^8) x^9 y^8 z^2+a^2 c^8 (a^8+31 a^6 b^2+61 a^4 b^4-79 a^2 b^6-14 b^8-7 a^6 c^2+4 a^4 b^2 c^2+33 a^2 b^4 c^2+15 a^4 c^4-71 a^2 b^2 c^4-26 b^4 c^4-13 a^2 c^6+36 b^2 c^6+4 c^8) x^8 y^9 z^2+a^2 c^8 (3 a^8+29 a^6 b^2+15 a^4 b^4-45 a^2 b^6-2 b^8-31 a^6 c^2+12 a^4 b^2 c^2+69 a^2 b^4 c^2+4 b^6 c^2-5 a^4 c^4-127 a^2 b^2 c^4+31 a^2 c^6-4 b^2 c^6+2 c^8) x^7 y^10 z^2+a^4 c^8 (3 a^6+11 a^4 b^2-3 a^2 b^4-11 b^6-41 a^4 c^2+32 a^2 b^2 c^2+39 b^4 c^2-23 a^2 c^4-33 b^2 c^4+5 c^6) x^6 y^11 z^2+a^4 c^8 (a^6+a^4 b^2-a^2 b^4-b^6-17 a^4 c^2+20 a^2 b^2 c^2+3 b^4 c^2-3 a^2 c^4-3 b^2 c^4+c^6) x^5 y^12 z^2-b^6 c^8 (4 a^4+25 a^2 b^2-17 b^4-12 a^2 c^2-b^2 c^2+8 c^4) x^12 y^4 z^3+2 b^4 c^8 (a^6-41 a^4 b^2-17 a^2 b^4+21 b^6-3 a^4 c^2+6 a^2 b^2 c^2+21 b^4 c^2+3 a^2 c^4-13 b^2 c^4-c^6) x^11 y^5 z^3-b^4 c^8 (21 a^6+189 a^4 b^2-9 a^2 b^4-33 b^6+43 a^4 c^2-88 a^2 b^2 c^2-17 b^4 c^2-65 a^2 c^4+49 b^2 c^4+c^6) x^10 y^6 z^3-2 b^2 c^8 (3 a^8+9 a^6 b^2+89 a^4 b^4-13 a^2 b^6-4 b^8-9 a^6 c^2-62 a^4 b^2 c^2+43 a^2 b^4 c^2+12 b^6 c^2+9 a^4 c^4-27 a^2 b^2 c^4-12 b^4 c^4-3 a^2 c^6+4 b^2 c^6) x^9 y^7 z^3-2 a^2 (a-b) b^2 (a+b) c^8 (7 a^4-29 a^2 b^2+7 b^4-96 a^2 c^2-96 b^2 c^2+89 c^4) x^8 y^8 z^3-2 a^2 c^8 (4 a^8+13 a^6 b^2-89 a^4 b^4-9 a^2 b^6-3 b^8-12 a^6 c^2-43 a^4 b^2 c^2+62 a^2 b^4 c^2+9 b^6 c^2+12 a^4 c^4+27 a^2 b^2 c^4-9 b^4 c^4-4 a^2 c^6+3 b^2 c^6) x^7 y^9 z^3-a^4 c^8 (33 a^6+9 a^4 b^2-189 a^2 b^4-21 b^6+17 a^4 c^2+88 a^2 b^2 c^2-43 b^4 c^2-49 a^2 c^4+65 b^2 c^4-c^6) x^6 y^10 z^3-2 a^4 c^8 (21 a^6-17 a^4 b^2-41 a^2 b^4+b^6+21 a^4 c^2+6 a^2 b^2 c^2-3 b^4 c^2-13 a^2 c^4+3 b^2 c^4-c^6) x^5 y^11 z^3-a^6 c^8 (17 a^4-25 a^2 b^2-4 b^4+a^2 c^2+12 b^2 c^2-8 c^4) x^4 y^12 z^3-2 b^6 (b-c) c^6 (b+c) (8 a^4+2 a^2 b^2-10 b^4+2 a^2 c^2-35 b^2 c^2-10 c^4) x^11 y^4 z^4-b^4 c^6 (4 a^8+60 a^6 b^2-4 a^4 b^4-44 a^2 b^6-16 b^8-13 a^6 c^2+139 a^4 b^2 c^2-63 a^2 b^4 c^2-33 b^6 c^2+15 a^4 c^4+24 a^2 b^2 c^4+31 b^4 c^4-7 a^2 c^6+17 b^2 c^6+c^8) x^10 y^5 z^4-2 b^4 c^6 (32 a^8+70 a^6 b^2-70 a^4 b^4-30 a^2 b^6-2 b^8-4 a^6 c^2+48 a^4 b^2 c^2+70 a^2 b^4 c^2+9 b^6 c^2+41 a^4 c^4+26 a^2 b^2 c^4-15 b^4 c^4-66 a^2 c^6+11 b^2 c^6-3 c^8) x^9 y^6 z^4-a^2 b^2 c^6 (8 a^8+184 a^6 b^2+80 a^4 b^4-240 a^2 b^6-32 b^8-16 a^6 c^2-447 a^4 b^2 c^2+393 a^2 b^4 c^2+244 b^6 c^2+151 a^2 b^2 c^4-88 b^4 c^4+16 a^2 c^6-116 b^2 c^6-8 c^8) x^8 y^7 z^4-a^2 b^2 c^6 (32 a^8+240 a^6 b^2-80 a^4 b^4-184 a^2 b^6-8 b^8-244 a^6 c^2-393 a^4 b^2 c^2+447 a^2 b^4 c^2+16 b^6 c^2+88 a^4 c^4-151 a^2 b^2 c^4+116 a^2 c^6-16 b^2 c^6+8 c^8) x^7 y^8 z^4-2 a^4 c^6 (2 a^8+30 a^6 b^2+70 a^4 b^4-70 a^2 b^6-32 b^8-9 a^6 c^2-70 a^4 b^2 c^2-48 a^2 b^4 c^2+4 b^6 c^2+15 a^4 c^4-26 a^2 b^2 c^4-41 b^4 c^4-11 a^2 c^6+66 b^2 c^6+3 c^8) x^6 y^9 z^4-a^4 c^6 (16 a^8+44 a^6 b^2+4 a^4 b^4-60 a^2 b^6-4 b^8+33 a^6 c^2+63 a^4 b^2 c^2-139 a^2 b^4 c^2+13 b^6 c^2-31 a^4 c^4-24 a^2 b^2 c^4-15 b^4 c^4-17 a^2 c^6+7 b^2 c^6-c^8) x^5 y^10 z^4+4 b^4 (b-c) c^4 (b+c) (2 a^8-6 a^6 b^2+6 a^4 b^4-2 a^2 b^6-6 a^6 c^2+117 a^4 b^2 c^2-28 a^2 b^4 c^2-3 b^6 c^2+6 a^4 c^4-28 a^2 b^2 c^4+6 b^4 c^4-2 a^2 c^6-3 b^2 c^6) x^9 y^5 z^5-2 a^2 b^4 c^4 (3 a^8-11 a^6 b^2+15 a^4 b^4-9 a^2 b^6+2 b^8+79 a^6 c^2-130 a^4 b^2 c^2-143 a^2 b^4 c^2+82 b^6 c^2+27 a^4 c^4+283 a^2 b^2 c^4-4 b^4 c^4-51 a^2 c^6-22 b^2 c^6-58 c^8) x^8 y^6 z^5-4 a^2 (a-b) b^2 (a+b) c^4 (3 a^6 b^2-6 a^4 b^4+3 a^2 b^6-a^6 c^2+11 a^4 b^2 c^2+11 a^2 b^4 c^2-b^6 c^2+3 a^4 c^4-59 a^2 b^2 c^4+3 b^4 c^4-3 a^2 c^6-3 b^2 c^6+c^8) x^7 y^7 z^5+2 a^4 b^2 c^4 (2 a^8-9 a^6 b^2+15 a^4 b^4-11 a^2 b^6+3 b^8+82 a^6 c^2-143 a^4 b^2 c^2-130 a^2 b^4 c^2+79 b^6 c^2-4 a^4 c^4+283 a^2 b^2 c^4+27 b^4 c^4-22 a^2 c^6-51 b^2 c^6-58 c^8) x^6 y^8 z^5+4 a^2 b^4 (b-c) c^4 (b+c) (118 a^6-71 a^4 b^2-44 a^2 b^4-3 b^6-71 a^4 c^2+84 a^2 b^2 c^2+3 b^4 c^2-44 a^2 c^4+3 b^2 c^4-3 c^6) x^7 y^6 z^6+a^12 c^4 (3 a^2+b^2-c^2) y^12 z^7-a^12 c^2 (2 a^4-2 b^4-9 a^2 c^2-b^2 c^2+3 c^4) y^11 z^8-a^12 (a^6-3 a^4 b^2+3 a^2 b^4-b^6+5 a^4 c^2-5 b^4 c^2-9 a^2 c^4+3 b^2 c^4+3 c^6) y^10 z^9+a^12 (a^6+5 a^4 b^2-9 a^2 b^4+3 b^6-3 a^4 c^2+3 b^4 c^2+3 a^2 c^4-5 b^2 c^4-c^6) y^9 z^10+a^12 b^2 (2 a^4-9 a^2 b^2+3 b^4-b^2 c^2-2 c^4) y^8 z^11-a^12 b^4 (3 a^2-b^2+c^2) y^7 z^12] = 0
*** Let Q=Q(P) denote the point of concurrence. If P ∈ Linf then Q(P) ∈ Linf
*** some pairs (P,Q(P))
-- pairs (P ∈ Linf, Q(P)) : no pairs
-- pairs (P ∈ q15, Q(P)) : {1,1},{4,252}
Best regards
Ercole Suppa
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου